Nel Settecento l’adozione di schemi ben definiti e regole rigorose già permettono un immediato riconoscimento di geometrie all’interno delle composizioni, che risultano quindi molto razionali e matematiche. Dalla metà dell’Ottocento in poi tali schemi hanno iniziato a farsi più labili e flessibili con autori come Debussy e Chopin, per rompersi sempre più profondamente nel corso del Novecento. L’importanza di Schonberg sta nell’aver portato all’estremo una rigorosa tecnica seriale nello sviluppo della dodecafonia e dell’atonalità. Per giungere alla completa atonalità del brano, ogni nota deve essere suonata lo stesso numero di volte delle altre 11. Il compositore scrive quindi una serie di 12 note, tutte diverse tra loro, che costituirà il modello su cui costruire tutto il pezzo musicale. Le trasformazioni geometriche di questa sequenza di note contribuiranno al completamento del brano. La rigorosità diviene una questione puramente matematica, tanto è portata all’estremo.
In particolare, per ognuna delle seguenti trasformazioni (inversione, retrogradazione, inversione retrograda) si può parlare di simmetrie assiali e centrali: queste, insieme alla traslazione e alla rotazione, sono note come trasformazioni isometriche: il termine “isometrico” significa “che rispetta le distanze”. Le trasformazioni isometriche sono perciò particolari similitudini in cui la distanza tra i punti rimane costante. Una qualunque isometria può essere considerata come un movimento rigido della figura sul piano, che può risultare spostata, specchiata o ruotata.
La simmetria assiale è una particolare riflessione (e di conseguenza una isometria) che altera l’immagine invertendola, come se la stessimo vedendo riflessa in uno specchio.
In geometria si definisce simmetria assiale quella trasformazione che, fissata una retta nel piano, fa corrispondere ad ogni punto un secondo punto dalla parte opposta rispetto all’asse tale che essi abbiano la stessa distanza dalla retta e appartengano entrambi ad una perpendicolare all’asse (fig.1).
In musica una simmetria assiale può avere asse verticale o orizzontale. Se l’asse di riflessione è una retta verticale abbiamo detto che in musica si ottiene una retrogradazione: la retrograda di una melodia è la riscrittura di tale melodia cominciando però dall’ultima nota, ripercorrendo all’indietro nella sequenza contraria la successione delle note (fig.2).
Se invece come asse di riflessione prendiamo una retta orizzontale, il risultato della trasformazione sarà l’inversione: se la melodia originale sale di un semitono, l’inversa scenderà di un semitono, e così via (fig.3).
Una simmetria centrale è una riflessione di una figura rispetto ad un punto detto centro di simmetria. Ad ogni punto della figura iniziale ne corrisponde uno tale che il centro di simmetria coincida con il punto medio del segmento che congiunge i due punti (fig. 4).
In musica una simmetria centrale viene identificata proprio da questo, ovvero una combinazione di una retrogradazione (simmetria ad asse verticale) e una inversione (simmetria ad asse orizzontale). Il risultato che si ottiene applicando tale trasformazione viene detto inversione retrograda della melodia originale (fig. 5).
